Преобразования приводящие к потере корней. Урок «Равносильность уравнений Проверка корней

Наиболее часто при решении уравнений используются следующие преобразования:

Другие преобразования

В представленный в предыдущем пункте список мы намеренно не включили такие преобразования, как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, логарифмирование, потенцирование обеих частей уравнения, извлечение корня одной степени из обеих частей уравнения, освобождение от внешней функции и другие. Дело в том, что эти преобразования не столь общи: преобразования из приведенного выше списка используются при решении уравнений всех видов, а только что упомянутые преобразования - для решения определенных видов уравнений (иррациональных, показательных, логарифмических и т.д.). Они подробно рассмотрены в рамках соответствующих методов решения соответствующих видов уравнений. Вот ссылки на их детальное описание:

• Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень .
• Логарифмирование обеих частей уравнения .
• Потенцирование обеих частей уравнения .
• Извлечение корня одной и той же степени из обеих частей уравнения .
• Замена выражения, отвечающего одной из частей исходного уравнения, выражением из другой части исходного уравнения .

Приведенные ссылки содержат исчерпывающую информацию по перечисленным преобразованиям. Поэтому, на них в этой статье мы больше не будем останавливаться. Вся последующая информация относится к преобразованиям из списка основных преобразований.

Что получается в результате преобразования уравнения?

Проведение всех перечисленных выше преобразований может дать или уравнение, имеющее те же корни, что и исходное уравнение, или уравнение, среди корней которого содержатся все корни исходного уравнения, но которое может иметь еще и другие корни, или уравнение, среди корней которого будут не все корни преобразованного уравнения. В следующих пунктах мы разберем, какие из этих преобразований при выполнении каких условий к каким уравнениям приводят. Это крайне важно знать для успешного решения уравнений.

Равносильные преобразования уравнений

Особый интерес представляют преобразования уравнений, дающие в результате их проведения равносильные уравнения , то есть, уравнения, имеющие то же множество корней, что и исходное уравнение. Такие преобразования называют равносильными преобразованиями . В школьных учебниках соответствующее определение не приводится в явном виде, но оно легко читается из контекста:

Определение

Равносильные преобразования уравнений – это преобразования, дающие равносильные уравнения.

Так чем же интересны равносильные преобразования? Тем, что если с их помощью удастся прийти от решаемого уравнения к довольно простому равносильному уравнению, то решение этого уравнения даст искомое решение исходного уравнения.

Из перечисленных в предыдущем пункте преобразований не все являются всегда равносильными. Некоторые преобразования являются равносильными лишь при определенных условиях. Составим список утверждений, которые определяют, какие преобразования и при каких условиях являются равносильными преобразованиями уравнения. Для этого за основу возьмем приведенный выше список, и к преобразованиям, которые не всегда равносильны, добавим условия, придающие им равносильность. Вот этот список:

• Замена выражения в левой или правой части уравнения ему выражением, при которой не изменяется переменных для уравнения, является равносильным преобразованием уравнения.

Поясним, почему это так. Для этого возьмем уравнение с одной переменной (аналогичные рассуждения можно провести и для уравнений с несколькими переменными) вида A(x)=B(x) , выражения в его левой и правой части мы обозначили как A(x) и B(x) соответственно. Пусть выражение C(x) тождественно равно выражению A(x) , причем ОДЗ переменной x уравнения C(x)=B(x) совпадает с ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Докажем, что преобразование уравнения A(x)=B(x) в уравнение C(x)=B(x) есть равносильное преобразование, то есть, докажем, что уравнения A(x)=B(x) и C(x)=B(x) равносильные.

Для этого достаточно показать, что любой корень исходного уравнения является корнем уравнения C(x)=B(x) , а любой корень уравнения C(x)=B(x) является корнем исходного уравнения.

Начнем с первой части. Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x) , тогда при подстановке его вместо x мы получим верное числовое равенство A(q)=B(q) . Так как выражения A(x) и C(x) тождественно равны и выражение C(q) имеет смысл (это следует из условия о том, что ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) совпадает с ОДЗ для исходного уравнения), то справедливо числовое равенство A(q)=C(q) . Дальше используем свойства числовых равенств . В силу свойства симметричности равенство A(q)=C(q) можно переписать как C(q)=A(q) . Тогда в силу свойства транзитивности из равенств C(q)=A(q) и A(q)=B(q) следует равенство C(q)=B(q) . Этим доказано, что q – корень уравнения C(x)=B(x) .

Абсолютно аналогично доказывается и вторая часть, а вместе с этим и все утверждение в целом.

Суть разобранного равносильного преобразования состоит в следующем: оно позволяет отдельно работать с выражениями в левой и правой части уравнений, заменяя их тождественно равными выражениями на исходной ОДЗ переменных.

Самый банальный пример: мы можем заменить сумму чисел в правой части уравнения x=2+1 ее значением, при этом получится равносильное уравнение вида x=3 . Действительно, мы заменили выражение 2+1 тождественно равным ему выражением 3 , и при этом не изменилась ОДЗ уравнения. Еще пример: в левой части уравнения 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 мы можем , а в правой – , что приведет нас к равносильному уравнению 3·x+6=5·x+3 . Полученное уравнение действительно является равносильным, так как мы заменяли выражения тождественно равными им выражениями и при этом получили уравнение, имеющее ОДЗ, совпадающее с ОДЗ для исходного уравнения.

• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа есть равносильное преобразование уравнения.

Докажем, что прибавление к обеим частям уравнения A(x)=B(x) одного и того же числа c дает равносильное уравнение A(x)+c=B(x)+c и что вычитание из обеих частей уравнения A(x)=B(x) одного и того же числа c дает равносильное уравнение A(x)−c=B(x)−c .

Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x) , тогда справедливо равенство A(q)=B(q) . Свойства числовых равенств нам позволяют прибавлять к обеим частям верного числового равенства или вычитать из его частей одно и то же число. Обозначим это число как c , тогда справедливы равенства A(q)+c=B(q)+c и A(q)−c=B(q)−c . Из этих равенств следует, что q – корень уравнения A(x)+c=B(x)+c и уравнения A(x)−c=B(x)−c .

Теперь обратно. Пусть q – корень уравнения A(x)+c=B(x)+c и уравнения A(x)−c=B(x)−c , тогда A(q)+c=B(q)+c и A(q)−c=B(q)−c . Мы знаем, что вычитание одного и того же числа из обеих частей верного числового равенства дает верное числовое равенство. Также мы знаем, что прибавление к обеим частям верного числового равенства дает верное числовое равенство. Вычтем из обеих частей верного числового равенства A(q)+c=B(q)+c число с , а к обеим частям равенства A(x)−c=B(x)−c прибавим число c . Это нам даст верные числовые равенства A(q)+c−c=B(q)+c−c и A(q)−c+c=B(q)+c−c , откуда заключаем, что A(q)=B(q) . Из последнего равенства следует, что q – корень уравнения A(x)=B(x) .

Так доказано исходное утверждение в целом.

Приведем пример такого преобразования уравнений. Возьмем уравнение x−3=1 , и преобразуем его, прибавив к его обеим частям число 3 , после этого мы получим уравнение x−3+3=1+3 , которое равносильно исходному. Понятно, что в полученном уравнении можно выполнить действия с числами, о чем мы говорили в предыдущем пункте списка, в результате имеем уравнение x=4 . Так, выполняя равносильные преобразования, мы невзначай решили уравнение x−3=1 , его корень – это число 4 . Рассмотренное равносильное преобразование очень часто используется для избавления от одинаковых числовых слагаемых, находящихся в разных частях уравнения. Например, и в левой и в правой частях уравнения x 2 +1=x+1 присутствует одинаковое слагаемое 1 , вычитание из обеих частей уравнения числа 1 позволяет перейти к равносильному уравнению x 2 +1−1=x+1−1 и дальше к равносильному уравнению x 2 =x , и тем самым избавиться от этих одинаковых слагаемых.

• Прибавление к обеим частям уравнения или вычитание из обеих частей уравнения выражения, ОДЗ для которого не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, является равносильным преобразованием.

Докажем это утверждение. То есть, докажем, что уравнения A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) равносильные при условии, что ОДЗ для выражения C(x) не уже, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) .

Сначала докажем один вспомогательный момент. Докажем, что при указанных условиях ОДЗ уравнений до и после преобразования одинаковые. Действительно, ОДЗ для уравнения A(x)+C(x)=B(x)+C(x) можно рассматривать как пересечение ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) и ОДЗ для выражения C(x) . Из этого и из того, что ОДЗ для выражения С(x) по условию не уже, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , следует, что ОДЗ для уравнений A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) одинаковые.

Теперь докажем равносильность уравнений A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) при условии, что области допустимых значений для этих уравнений одинаковые. Доказательство равносильности уравнений A(x)=B(x) и A(x)−C(x)=B(x)−C(x) при указанном условии приводить не будем, так как оно аналогично.

Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x) , тогда справедливо числовое равенство A(q)=B(q) . Так как ОДЗ уравнений A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) одинаковые, то выражение C(x) имеет смысл при x=q , значит, C(q) – это некоторое число. Если прибавить C(q) к обеим частям верного числового равенства A(q)=B(q) , то это даст верное числовое неравенство A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , из которого следует, что q – корень уравнения A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Обратно. Пусть q – корень уравнения A(x)+C(x)=B(x)+C(x) , тогда A(q)+C(q)=B(q)+C(q) – верное числовое равенство. Мы знаем, что вычитание одного и того же числа из обеих частей верного числового равенства дает верное числовое равенство. Вычтем C(q) из обеих частей равенства A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , это дает A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) и дальше A(q)=B(q) . Следовательно, q – корень уравнения A(x)=B(x) .

Так рассматриваемое утверждение полностью доказано.

Приведем пример проведения этого преобразования. Возьмем уравнение 2·x+1=5·x+2 . Мы можем прибавить к его обеим частям, например, выражение −x−1 . Прибавление этого выражения не изменит ОДЗ, значит, такое преобразование является равносильным. В результате его проведения получим равносильное уравнение 2·x+1+(−x−1)=5·x+2+(−x−1) . Это уравнение можно преобразовать дальше: раскрыть скобки и выполнить приведение подобных слагаемых в его левой и правой части (см. первый пункт списка). После выполнения этих действий мы получим равносильное уравнение x=4·x+1 . Часто рассматриваемое преобразование уравнений применяется для избавления от одинаковых слагаемых, находящихся одновременно в левой и правой части уравнения.

• Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

Это утверждение является следствием предыдущих.

Покажем, как проводится это равносильное преобразование уравнения. Возьмем уравнение 3·x−1=2·x+3 . Перенесем слагаемое, например, 2·x из правой части в левую, изменив его знак. При этом получим равносильное уравнение 3·x−1−2·x=3 . Еще можно перенести минус единицу из левой части уравнения в правую, изменив знак на плюс: 3·x−2·x=3+1 . Наконец, приведение подобных слагаемых приводит нас к равносильному уравнению x=4 .

• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число является равносильным преобразованием.

Приведем доказательство.

Пусть A(x)=B(x) – некоторое уравнение и c – некоторое число, отличное от нуля. Докажем, что умножение или деление обеих частей уравнения A(x)=B(x) на число c является равносильным преобразованием уравнения. Для этого докажем, что уравнения A(x)=B(x) и A(x)·c=B(x)·c , а также уравнения A(x)=B(x) и A(x):c=B(x):c - равносильные. Это можно сделать так: доказать, что любой корень уравнения A(x)=B(x) является корнем уравнения A(x)·c=B(x)·c и корнем уравнения A(x):c=B(x):c , после чего доказать, что любой корень уравнения A(x)·c=B(x)·c , как и любой корень уравнения A(x):c=B(x):c является корнем уравнения A(x)=B(x) . Сделаем это.

Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x) . Тогда справедливо числовое равенство A(q)=B(q) . Изучив свойства числовых равенств, мы узнали, что умножение или деление обеих частей верного числового равенства на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к верному числовому равенству. Умножив обе части равенства A(q)=B(q) на c , получим верное числовое равенство A(q)·c=B(q)·c , из которого следует, что q – корень уравнения A(x)·c=B(x)·c . А разделив обе части равенства A(q)=B(q) на c , получим верное числовое равенство A(q):c=B(q):c , из которого следует, что q – корень уравнения A(x):c=B(x):c .

Теперь в другую сторону. Пусть q – корень уравнения A(x)·c=B(x)·c . Тогда A(q)·c=B(q)·c – верное числовое равенство. Разделив его обе части на отличное от нуля число c , получим верное числовое равенство A(q)·c:c=B(q)·c:c и дальше A(q)=B(q) . Отсюда следует, что q – корень уравнения A(x)=B(x) . Если q – корень уравнения A(x):c=B(x):c . Тогда A(q):c=B(q):c – верное числовое равенство. Умножив его обе части на отличное от нуля число c , получим верное числовое равенство A(q):c·c=B(q):c·c и дальше A(q)=B(q) . Отсюда следует, что q – корень уравнения A(x)=B(x) .

Утверждение доказано.

Приведем пример проведения этого преобразования. С его помощью можно, например, избавиться от дробей в уравнении . Для этого можно умножить обе части уравнения на 12 . В результате получится равносильное уравнение вида , которое дальше можно преобразовать в равносильное уравнение 7·x−3=10 , не содержащее в своей записи дробей.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, ОДЗ для которого не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения и не обращающееся в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, является равносильным преобразованием.

Докажем это утверждение. Для этого докажем, что если ОДЗ для выражения C(x) не уже, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , и C(x) не обращается в нуль на ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , то уравнения A(x)=B(x) и A(x)·C(x)=B(x)·C(x) , как и уравнения A(x)=B(x) и A(x):C(x)=B(x):C(x) - равносильные.

Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x) . Тогда A(q)=B(q) – верное числовое равенство. Из того, что ОДЗ для выражения C(x) не уже ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) следует, что выражение C(x) имеет смысл при x=q . Значит, C(q) – это некоторое число. Причем C(q) отлично от нуля, что следует из условия не обращения выражения C(x) в нуль. Если умножить обе части равенства A(q)=B(q) на отличное от нуля число C(q) , то это даст верное числовое равенство A(q)·C(q)=B(q)·C(q) , из которого следует, что q – корень уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Если разделить обе части равенства A(q)=B(q) на отличное от нуля число C(q) , то это даст верное числовое равенство A(q):C(q)=B(q):C(q) , из которого следует, что q – корень уравнения A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Обратно. Пусть q - корень уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Тогда A(q)·C(q)=B(q)·C(q) – верное числовое равенство. Заметим, что ОДЗ для уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x) такая же, как ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) (это мы обосновали в одном из предыдущих пунктов текущего списка). Так как C(x) по условию не обращается на ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) в нуль, то C(q) – отличное от нуля число. Разделив обе части равенства A(q)·C(q)=B(q)·C(q) на отличное от нуля число C(q) , получим верное числовое равенство A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) и дальше A(q)=B(q) . Отсюда следует, что q – корень уравнения A(x)=B(x) . Если q - корень уравнения A(x):C(x)=B(x):C(x) . Тогда A(q):C(q)=B(q):C(q) – верное числовое равенство. Умножив обе части равенства A(q):C(q)=B(q):C(q) на отличное от нуля число C(q) , получим верное числовое равенство A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) и дальше A(q)=B(q) . Отсюда следует, что q – корень уравнения A(x)=B(x) .

Утверждение доказано.

Для наглядности приведем пример проведения разобранного преобразования. Осуществим деление обеих частей уравнения x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) на выражение x 2 +1 . Это преобразование равносильное, так как выражение x 2 +1 не обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения и ОДЗ этого выражения не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. В результате проведения этого преобразования получим равносильное уравнение x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1) , которое можно дальше преобразовать к равносильному уравнению x 3 =8 .

Преобразования, приводящие к уравнениям-следствиям

В предыдущем пункте мы разобрали, какие преобразования из списка основных преобразований и при каких условиях являются равносильными. Теперь посмотрим, какие из этих преобразований и при каких условиях приводят к уравнениям-следствиям , то есть, к уравнениям, которые содержат все корни преобразовываемого уравнения, но помимо них могут иметь и другие корни – посторонние корни для исходного уравнения.

Преобразования, приводящие к уравнениям-следствиям, востребованы не меньше равносильных преобразований. Если с их помощью удастся получить довольно простое в плане решения уравнение, то его решение и последующее отсеивание посторонних корней даст решение исходного уравнения.

Заметим, что все равносильные преобразования можно считать частными случаями преобразований, которые приводят к уравнениям-следствиям. Оно и понятно, ведь равносильное уравнение есть частный случай уравнения-следствия. Но с практической точки зрения более полезным является знание о том, что рассматриваемое преобразование именно равносильное, а не приводящее к уравнению-следствию. Разъясним, почему это так. Если мы знаем, что преобразование является равносильным, то полученное в результате его проведения уравнение точно не будет иметь корней, посторонних для исходного уравнения. А преобразование, приводящее к уравнению-следствию, может быть причиной появления посторонних корней, что обязывает нас в дальнейшем проводить дополнительное действие – отсеивание посторонних корней. Поэтому, в этом пункте статьи мы основное внимание сосредоточим на преобразованиях, в результате проведения которых могут появиться посторонние корни для исходного уравнения. И действительно важно уметь отличать такие преобразования от равносильных преобразований, чтобы четко понимать, когда необходимо проводить отсеивание посторонних корней, а когда это делать не обязательно.

Проанализируем весь список основных преобразований уравнений, приведенный во втором пункте данной статьи, с целью поиска преобразований, в результате проведения которых могут появиться посторонние корни.

• Замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями.

Мы доказали, что это преобразование является равносильным, если при его проведении не изменяется ОДЗ. А если ОДЗ изменится, что при этом произойдет? Сужение ОДЗ может повлечь потерю корней, подробнее об этом речь пойдет в следующем пункте. А при расширении ОДЗ могут появиться посторонние корни. Обосновать это не сложно. Приведем соответствующие рассуждения.

Пусть выражение C(x) такое, что оно тождественно равно выражению A(x) и ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) шире, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) . Докажем, что уравнение C(x)=B(x) – это следствие уравнения A(x)=B(x) , и что среди корней уравнения C(x)=B(x) могут быть корни, посторонние для уравнения A(x)=B(x) .

Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x) . Тогда A(q)=B(q) – верное числовое равенство. Так как ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) шире, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , то выражение C(x) определено при x=q . Тогда, учитывая тождественное равенство выражений C(x) и A(x) , заключаем, что C(q)=A(q) . Из равенств C(q)=A(q) и A(q)=B(q) в силу свойства транзитивности вытекает равенство C(q)=B(q) . Из этого равенства следует, что q – это корень уравнения C(x)=B(x) . Это доказывает, что при указанных условиях уравнение C(x)=B(x) является следствием уравнения A(x)=B(x) .

Остается обосновать, что уравнение C(x)=B(x) может иметь корни, отличные от корней уравнения A(x)=B(x) . Докажем, что любой корень уравнения C(x)=B(x) из ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) является корнем уравнения A(x)=B(x) . Путь p – корень уравнения C(x)=B(x) , принадлежащий ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) . Тогда C(p)=B(p) – верное числовое равенство. Так как p принадлежит ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , то выражение A(x) определено при x=p . Из этого и из тождественного равенства выражений A(x) и C(x) следует, что A(p)=C(p) . Из равенств A(p)=C(p) и C(p)=B(p) в силу свойства транзитивности следует, что A(p)=B(p) , значит, p – это корень уравнения A(x)=B(x) . Этим доказано, что любой корень уравнения C(x)=B(x) из ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) является корнем уравнения A(x)=B(x) . Другими словами, на ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) не может быть корней уравнения C(x)=B(x) , которые являются посторонними корнями для уравнения A(x)=B(x) . Но по условию ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) шире, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) . А это допускает существование числа r , принадлежащего ОДЗ для уравнения C(x)=B(x) и не принадлежащего ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , являющегося корнем уравнения C(x)=B(x) . То есть, уравнение C(x)=B(x) может иметь корни, посторонние для уравнения A(x)=B(x) , причем все они будут принадлежать тому множеству, на которое расширяется ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) при замене в нем выражения A(x) тождественно равным ему выражением C(x) .

Итак, замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями, в результате которой расширяется ОДЗ, в общем случае приводит к уравнению-следствию (то есть, может привести к возникновению посторонних корней) и лишь в частном случае приводит к равносильному уравнению (в том случае, если полученное уравнение не будет иметь корней, посторонних для исходного уравнения).

Приведем пример проведения разобранного преобразования. Замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением x·(x−1) приводит к уравнению x·(x−1)=0 , при этом происходит расширение ОДЗ – в нее добавляется число 0 . Полученное уравнение имеет два корня 0 и 1 , причем подстановка этих корней в исходное уравнение показывает, что 0 – это посторонний корень для исходного уравнения, а 1 – корень исходного уравнения. Действительно, подстановка нуля в исходное уравнение дает не имеющее смысла выражение , так как в нем присутствует деление на нуль, а подстановка единицы дает верное числовое равенство , что то же самое 0=0 .

Обратите внимание, что подобное преобразование похожего уравнения в уравнение (x−1)·(x−2)=0 , в результате проведения которого тоже расширяется ОДЗ, не приводит к появлению посторонних корней. Действительно, оба корня полученного уравнения (x−1)·(x−2)=0 - числа 1 и 2 , являются корнями исходного уравнения, в чем легко убедиться путем проверки подстановкой. Этими примерами мы еще раз хотели подчеркнуть, что замена выражения в левой или правой части уравнения тождественно равным ему выражением, при которой расширяется ОДЗ, не обязательно приводит к появлению посторонних корней. Но может и приводить к их появлению. Так что, если в процессе решения уравнения такое преобразование имело место быть, то обязательно нужно проводить проверку с целью выявления и отсеивания посторонних корней.

Наиболее часто ОДЗ уравнения может расшириться и могут появиться посторонние корни из-за замены нулем разности одинаковых выражений или суммы выражений с противоположными знаками, из-за замены нулем произведений с одним или несколькими нулевыми множителями, из-за сокращения дробей и из-за использования свойств корней, степеней, логарифмов и т.д.

• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа.

Выше мы показали, что это преобразование всегда равносильное, то есть, приводящее к равносильному уравнению. Идем дальше.

• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения.

В предыдущем пункте мы добавили условие про то, что ОДЗ для прибавляемого или вычитаемого выражения должна быть не уже, чем ОДЗ для преобразовываемого уравнения. Это условие сделало рассматриваемое преобразование равносильным. Здесь имеют место рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным в начале этого пункта статьи касательно того, что равносильное уравнение – это частный случай уравнения-следствия и что знание о равносильности преобразования практически полезнее знания об этом же преобразовании, но с позиций того, что оно приводит к уравнению-следствию.

А может ли в результате прибавления одного и того же выражения или вычитания одного и того же выражения из обеих частей уравнения получиться уравнение, которое помимо всех корней исходного уравнения будет иметь какие-либо еще корни? Нет, не может. Если ОДЗ для прибавляемого или вычитаемого выражения не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, то в результате прибавления или вычитания получится равносильное уравнение. Если же ОДЗ для прибавляемого или вычитаемого выражения будет уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, то это может привести к потере корней, а не к появлению посторонних корней. Подробнее об этом поговорим в следующем пункте.

• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со знаком, измененным на противоположный.

Это преобразование уравнения всегда равносильное. Поэтому нет смысла рассматривать его как преобразование, приводящее к уравнению-следствию, по озвученным выше причинам.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число.

В предыдущем пункте мы доказали, что если умножение или деление обеих частей уравнения проводится на отличное от нуля число, то это является равносильным преобразованием уравнения. Поэтому, опять же, нет говорить о нем, как о преобразовании, приводящем к уравнению-следствию.

Но здесь стоит обратить внимание на оговорку про отличие от нуля числа, на которое проводится умножение или деление обеих частей уравнения. Для деления эта оговорка понятна – с начальных классов мы уяснили, что на нуль делить нельзя . А зачем эта оговорка для умножения? Давайте поразмыслим, к чему приведет умножение обеих частей уравнения на нуль. Для наглядности возьмем конкретное уравнение, например, 2·x+1=x+5 . Это линейное уравнение , имеющее единственный корень, которым является число 4 . Запишем уравнение, которое получится при умножении обеих частей этого уравнения на нуль: (2·x+1)·0=(x+5)·0 . Очевидно, корнем этого уравнения является любое число, ведь при подстановке в это уравнение вместо переменной x любого числа получается верное числовое равенство 0=0 . То есть, в нашем примере умножение обеих частей уравнения на нуль привело к уравнению-следствию, что явилось причиной появления бесконечного множества посторонних корней для исходного уравнения. Причем, стоит заметить, что в этом случае обычные способы отсеивания посторонних корней не справляются со своей задачей. Значит, проделанное преобразование бесполезно для решения исходного уравнения. И это типичная ситуация для рассматриваемого преобразования. Именно поэтому такое преобразование, как умножение обеих частей уравнения на нуль, не используется для решения уравнений. Это преобразование и другие преобразования, которые не следует использовать для решения уравнений, нам еще предстоит разобрать в последнем пункте.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

В предыдущем пункте мы доказали, что это преобразование является равносильным при выполнении двух условий. Напомним их. Первое условие: ОДЗ для этого выражения должна быть не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. Второе условие: выражение, на которое проводится умножение или деление, не должно обращаться в нуль на ОДЗ для исходного уравнения.

Давайте изменим первое условие, то есть, будем считать, что ОДЗ для выражения, на которое планируется умножение или деление обеих частей уравнения, уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. В результате проведения такого преобразования будет получено уравнение, ОДЗ для которого будет уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. Такие преобразования могут привести к потере корней, о них мы будем говорить в следующем пункте.

А что будет, если убрать второе условие про не обращение в нуль значений выражения, на которое проводится умножение или деление обеих частей уравнения, на ОДЗ для исходного уравнения?

Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, приведет к уравнению, ОДЗ которого будет уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. Действительно, ведь из нее выпадут числа, обращающие в нуль выражение, на которое было проведено деление. Это может привести к потере корней.

А как обстоят дела с умножением обеих частей уравнения на одно и то же выражение, которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения? Можно показать, что при умножении обеих частей уравнения A(x)=B(x) на выражение C(x) , ОДЗ для которого не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, и которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, получается уравнение-следствие, которое помимо всех корней уравнения A(x)=B(x) может иметь и другие корни. Сделаем это, тем более что этот пункт статьи как раз посвящен преобразованиям, приводящим к уравнениям-следствиям.

Пусть выражение C(x) такое, что ОДЗ для него не уже, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , и оно обращается в нуль на ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) . Докажем, что при этом уравнение A(x)·C(x)=B(x)·C(x) есть следствие уравнения A(x)=B(x) .

Пусть q – корень уравнения A(x)=B(x) . Тогда A(q)=B(q) – верное числовое равенство. Так как ОДЗ для выражения C(x) не уже, чем ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , то выражение C(x) определено при x=q , значит, C(q) – это некоторое число. Умножение обеих частей верного числового равенства на любое число дает верное числовое равенство, поэтому, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) - верное числовое равенство. Значит q – корень уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Этим доказано, что любой корень уравнения A(x)=B(x) является корнем уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x) , откуда следует, что уравнение A(x)·C(x)=B(x)·C(x) есть следствие уравнения A(x)=B(x) .

Заметим, что при указанных условиях уравнение A(x)·C(x)=B(x)·C(x) может иметь корни, посторонние для исходного уравнения A(x)=B(x) . Ими являются все такие числа из ОДЗ для исходного уравнения, которые обращают выражение C(x) в нуль (все числа, обращающие в нуль выражение C(x) являются корнями уравнения A(x)·C(x)=B(x)·C(x) , так как их подстановка в указанное уравнение дает верное числовое равенство 0=0 ), но которые не являются корнями уравнения A(x)=B(x) . Уравнения A(x)=B(x) и A(x)·C(x)=B(x)·C(x) при указанных условиях будут равносильными тогда, когда все числа из ОДЗ для уравнения A(x)=B(x) , обращающие в нуль выражение C(x) , являются корнями уравнения A(x)=B(x) .

Итак, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, ОДЗ для которого не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, и которое обращается в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, в общем случае приводит к уравнению-следствию, то есть, может привести к появлению посторонних корней.

Приведем пример для иллюстрации. Возьмем уравнение x+3=4 . Его единственным корнем служит число 1 . Умножим обе части этого уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для исходного уравнения, например, на x·(x−1) . Это выражение обращается в нуль при x=0 и x=1 . Умножение обеих частей уравнения на это выражение даст нам уравнение (x+3)·x·(x−1)=4·x·(x−1) . Полученное уравнение имеет два корня: 1 и 0 . Число 0 – это посторонний корень для исходного уравнения, появившийся в результате проведенного преобразования.

Преобразования, проведение которых может привести к потере корней

Некоторые преобразования из при определенных условиях могут привести к потере корней. Например, при делении обеих частей уравнения x·(x−2)=x−2 на одно и то же выражение x−2 происходит потеря корня. Действительно, в результате проведения такого преобразования получается уравнение x=1 с единственным корнем, которым является число 1 , а исходное уравнение имеет два корня 1 и 2 .

Нужно отчетливо понимать, когда происходит потеря корней в результате проведения преобразований, чтобы при решении уравнений не терять корни. Давайте разбираться с этим.

В результате проведения указанных преобразований потеря корней может произойти тогда и только тогда, когда ОДЗ для преобразованного уравнения оказывается уже, чем ОДЗ для исходного уравнения.

Для доказательства этого утверждения нужно обосновать два момента. Во-первых, нужно доказать, что если в результате проведения указанных преобразований уравнения сужается ОДЗ, то может произойти потеря корней. И, во-вторых, нужно обосновать, что если в результате проведения указанных преобразований происходит потеря корней, то ОДЗ для полученного уравнения уже, чем ОДЗ для исходного уравнения.

Если ОДЗ для уравнения, полученного в результате преобразования, уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, то, естественно, ни один корень исходного уравнения, находящийся вне ОДЗ для полученного уравнения, не может быть корнем уравнения, полученного в результате проведения преобразования. Значит, все эти корни будут потеряны при переходе от исходного уравнения к уравнению, ОДЗ для которого уже, чем ОДЗ для исходного уравнения.

Теперь обратно. Докажем, что если в результате проведения указанных преобразований происходит потеря корней, то ОДЗ для полученного уравнения уже, чем ОДЗ для исходного уравнения. Это можно сделать методом от противного. Предположение о том, что в результате проведения указанных преобразований происходит потеря корней, но не сужается ОДЗ, противоречит утверждениям, доказанным в предыдущих пунктах. Действительно, из этих утверждений следует, что если при проведении указанных преобразований не сужается ОДЗ, то получаются или равносильные уравнения или уравнения-следствия, значит, не может происходить потеря корней.

Итак, причиной возможной потери корней при проведении основных преобразований уравнений выступает сужение ОДЗ. Понятно, что, решая уравнения, мы не должны терять корни. Здесь, естественно, возникает вопрос: «Что же делать, чтобы не терять корни при преобразовании уравнений»? Ответим на него в следующем пункте. А сейчас давайте пробежимся по списку основных преобразований уравнений, чтобы более детально посмотреть, какие преобразования могут привести к потере корней.

• Замена выражений, находящихся в левой и правой частях уравнения, тождественно равными им выражениями.

Если заменить выражение в левой или правой части уравнения тождественно равным выражением, ОДЗ для которого уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, то это приведет к сужению ОДЗ, и из-за этого могут быть потеряны корни. Наиболее часто к сужению ОДЗ и, как следствие, к возможной потере корней приводят замены выражений в левой или правой части уравнений тождественно равными им выражениями, проводящиеся на базе некоторых свойств корней, степеней, логарифмов и некоторых тригонометрических формул. Например, замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ей выражением , сужает ОДЗ и приводит к потере корня −16 . Аналогично, замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением приводит к уравнению , ОДЗ для которого уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, что влечет потерю корня −3 .

• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же числа.

Это преобразование равносильное, поэтому, при его проведении не могут быть потеряны корни.

• Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения или вычитание из обеих частей уравнения одного и того же выражения.

Если прибавить или вычесть выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, то это приведет к сужению ОДЗ и, как следствие, к возможной потере корней. Это стоит иметь в виду. Но здесь стоит отметить, что на практике обычно приходится прибегать к прибавлению или вычитанию выражений, которые присутствуют в записи исходного уравнения, что не приводит к изменению ОДЗ и не влечет потери корней.

• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую со знаком, измененным на противоположный.

Это преобразование уравнения равносильное, поэтому, в результате его проведения корни не теряются.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Это преобразование тоже равносильное, и из-за него потеря корней не происходит.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

Это преобразование может приводить к сужению ОДЗ в двух случаях: когда ОДЗ для выражения, на которое проводится умножение или деление, уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, и когда проводится деление на выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для исходного уравнения. Заметим, что на практике обычно не приходится прибегать к умножению и делению обеих частей уравнения на выражение с более узкой ОДЗ. А вот с делением на выражение, обращающееся на ОДЗ для исходного уравнения в нуль, иметь дело приходиться. Существует метод, позволяющий справляться с потерей корней при таком делении, о нем мы расскажем в следующем пункте этой статьи.

Как избежать потери корней?

Если для преобразования уравнений использовать только преобразования из и при этом не допускать сужения ОДЗ, то потери корней не произойдет.

Означает ли это, что нельзя проводить какие-либо другие преобразования уравнений? Нет, не означает. Если придумать какое-нибудь еще преобразование уравнения и полностью описать его, то есть, указать, когда оно приводит к равносильным уравнениям, когда – к уравнениям-следствиям, и когда может приводить к потере корней, то его вполне можно будет взять на вооружение.

Стоит ли полностью отказываться от преобразований, сужающих ОДЗ? Не стоит этого делать. В своем арсенале не помешает оставить преобразования, при которых из ОДЗ для исходного уравнения выпадает конечное количество чисел. Почему от таких преобразований не стоит отказываться? Потому что существует метод, позволяющий в таких случаях избежать потери корней. Он состоит в отдельной проверке чисел, выпадающих из ОДЗ, на предмет того, есть ли среди них корни исходного уравнения. Проверить это можно подстановкой этих чисел в исходное уравнение. Те из них, которые при подстановке дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения. Их нужно включить в ответ. После такой проверки можно спокойно проводить задуманное преобразование без боязни потерять корни.

Типичным преобразованием, при котором ОДЗ для уравнения сужается на несколько чисел, является деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, которое обращается в нуль в нескольких точках из ОДЗ для исходного уравнения. Такое преобразование лежит в основе метода решения возвратных уравнений . Но оно используется и при решении уравнений других видов. Приведем пример.

Решение уравнения можно провести методом введения новой переменной. Чтобы ввести новую переменную, надо разделить обе части уравнения на 1+x . Но при таком делении может произойти потеря корня, так как хотя ОДЗ для выражения 1+x не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, но выражение 1+x обращается в нуль при x=−1 , а это число принадлежит ОДЗ для исходного уравнения. Значит, может произойти потеря корня −1 . Чтобы исключить потери корня, следует отдельно проверить, является ли −1 корнем исходного уравнения. Для этого можно подставить −1 в исходное уравнение и посмотреть, какое равенство при этом получается. В нашем случае подстановка дает равенство , что то же самое 4=0 . Это равенство неверное, значит −1 не является корнем исходного уравнения. После такой проверки можно осуществлять задуманное деление обеих частей уравнения на 1+x , не опасаясь за то, что может произойти потеря корней.

В заключение этого пункта еще раз обратимся к уравнениям из предыдущего пункта и . Преобразование этих уравнений на базе тождеств и приводит к сужение ОДЗ, а это влечет потерю корней. В этом пункте мы сказали, что для того, чтобы не терять корни, нужно отказаться от преобразований, сужающих ОДЗ. Значит, от указанных преобразований нужно отказаться. А как же быть? Можно провести преобразования не на базе тождеств и , из-за которых сужается ОДЗ, а на базе тождеств и . В результате перехода от исходных уравнений и к уравнениям и не происходит сужения ОДЗ, значит, не будут потеряны корни.

Здесь же особо отметим, что при замене выражений тождественно равными выражениями нужно тщательно следить за тем, чтобы выражения были именно тождественно равными. Например, в уравнении нельзя заменить выражение x+3 выражением с целью упрощения вида левой части до , так как выражения x+3 и не являются тождественно равными, ведь их значения не совпадают при x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Преобразования уравнений, к которым не следует прибегать

Преобразований, которые упоминаются в этой статье, обычно достаточно для нужд практики. То есть, не стоит сильно озадачиваться придумыванием каких-либо еще преобразований, лучше сосредоточиться на правильном использовании уже проверенных.

Литература

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Потеря корней и посторонние корни при решении уравнений

МОУ "СОШ №2 с углубленным изучением отдельных предметов" города Всеволожска. Исследовательскую работу подготовил ученик 11 Б класса: Васильев Василий. Руководитель проекта: Егорова Людмила Алексеевна.

Уравнение Для начала рассмотрим различные способы решения данного уравнения sinx+cosx =- 1

Решение №1 sinx+cosx =-1 я У х 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Ответ: +2

Решение №2 sinx+cosx =- 1 я Ответ: +2 у х 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Решение №3 я у х 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Ответ:

sinx+cosx =-1 Решение №4 я у х 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Ответ: - + 2 n

Сверим решения Верные решения Разберемся, в каких случаях могут появиться посторонние корни и почему №2 Ответ: +2 №3 Ответ: №4 Ответ: + 2 n №1 Ответ: +2

Проверка решения Надо ли делать проверку? Проверять корни на всякий случай, для надежности? Это конечно полезно, когда подставить просто, но математики народ рациональный и лишних действий не делают. Рассмотрим разные случаи и вспомним, когда проверка действительно нужна.

1. Простейшие готовые формулы c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a В тех случаях, когда корни найдены по простейшим, готовым формулам, то проверку можно не делать. Тем не менее, при использовании таких формул следует помнить условия, при которых можно их применять. К примеру, формулу = можно применять при условии a 0 , -4ac 0 А грубейшей ошибкой считается ответ x= arccos2+2 для уравнения cosx =2 , так как формулой x= arccos a +2 можно пользоваться только для корней уравнения cosx =a , где | a | 1

2 . Преобразования Чаще при решении уравнений приходится проводить много преобразований. Если уравнение заменить новым, имеющим все корни предыдущего, и преобразовывать его так, чтобы не произошло потери или приобретения корней, то такие уравнения называются равносильными. 1. При переносе составляющих уравнения из одной части в другую. 2 . При прибавлении к обеим частям одного и того же числа. 3 . При умножении обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число. 4 . При применении тождеств, верных на множестве всех действительных чисел. При этом проверка не обязательна!

Однако, не всякое уравнение можно решить равносильными преобразованиями. Чаще приходится применять неравносильные преобразования. Часто такие преобразования основаны на пользовании формул, верных не при всех действительных значениях. При этом, в частности, меняется область определения уравнения. Такая ошибка находится в решении №4. Разберем ошибку, но прежде вновь посмотрим на способ решения №4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Ошибка кроется в формуле sin2x= Этой формулой пользоваться можно, только следует дополнительно проверить, являются ли корнями числа вида + при которых не определен tg . Теперь ясно, что в решении потеря корней. Доведем его до конца.

Решение №4 я у х 0 1 Проверим числа = + n подстановкой: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Значит x= +2 n является корнем уравнения Ответ: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Мы рассмотрели один из способов потери корней, в математике их великое множество, поэтому нужно решать внимательно, помня все правила. Также, как можно потерять корни уравнения, можно и приобрести лишние в ходе его решение. Рассмотрим решение №3 в котором допущена такая ошибка.

Решение №3 я у х 0 1 2 2 и лишние корни! Посторонние корни могли появиться, когда обе части уравнения были возведены в квадрат. В этом случае необходимо сделать проверку. При n=2k имеем sin k+cos k=-1; cos k=-1 при k=2m-1 , Тогда n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Ответ: +2 При n=2k+1 имеем sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 при k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Итак, мы рассмотрели пару возможных случаев, коих великое множество. Старайтесь не тратить свое время зря и не совершать глупых ошибок.

Может привести к появлению так называемых посторонних корней. В этой статье мы, во-первых, детально разберем, что такое посторонние корни . Во-вторых, поговорим о причинах их возникновения. И в-третьих, на примерах рассмотрим основные способы отсеивания посторонних корней, то есть, проверки корней на предмет наличия среди них посторонних с целью исключения их из ответа.

Посторонние корни уравнения, определение, примеры

В школьных учебниках по алгебре не дается определение постороннего корня. Там представление о постороннем корне формируется путем описания следующей ситуации: при помощи некоторых преобразований уравнения осуществляется переход от исходного уравнения к уравнению-следствию, находятся корни полученного уравнения-следствия, и осуществляется проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, которая показывает, что некоторые из найденных корней не являются корнями исходного уравнения, эти корни называют посторонними корнями для исходного уравнения .

Отталкиваясь от этой базы, для себя можно принять такое определение постороннего корня:

Определение

Посторонние корни – это корни полученного в результате проведения преобразований уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения.

Приведем пример. Рассмотрим уравнение и следствие этого уравнения x·(x−1)=0 , полученное в результате замены выражения тождественно равным ему выражением x·(x−1) . Исходное уравнение имеет единственный корень 1 . Уравнение, полученное в результате проведения преобразования, имеет два корня 0 и 1 . Значит 0 – это посторонний корень для исходного уравнения.

Причины возможного появления посторонних корней

Если для получения уравнения-следствия не использовать никакие «экзотические» преобразования, а использовать только основные преобразования уравнений , то посторонние корни могут возникнуть лишь по двум причинам:

• из-за расширения ОДЗ и
• из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Здесь стоит напомнить, что расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения в основном происходит

• При сокращении дробей;
• При замене нулем произведения с одним или несколькими нулевыми множителями;
• При замене нулем дроби с нулевым числителем;
• При использовании некоторых свойств степеней, корней, логарифмов;
• При использовании некоторых тригонометрических формул;
• При умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение, обращающееся в нуль на ОДЗ для этого уравнения;
• При освобождении в процессе решения от знаков логарифмов.

Пример из предыдущего пункта статьи иллюстрирует появление постороннего корня из-за расширения ОДЗ, которое имеет место при переходе от уравнения к уравнению-следствию x·(x−1)=0 . ОДЗ для исходного уравнения есть множество всех действительных чисел, за исключением нуля, ОДЗ для полученного уравнения есть множество R, то есть, ОДЗ расширяется числом нуль. Это число в итоге и оказывается посторонним корнем.

Также приведем пример появления постороннего корня из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Иррациональное уравнение имеет единственный корень 4 , а следствие этого уравнения, полученное из него путем возведения обеих частей уравнения в квадрат, то есть, уравнение , имеет два корня 1 и 4 . Из этого видно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат привело к появлению постороннего корня для исходного уравнения.

Заметим, что расширение ОДЗ и возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, не всегда приводит к появлению посторонних корней. Например, при переходе от уравнения к уравнению-следствию x=2 ОДЗ расширяется с множества всех неотрицательных чисел до множества всех действительных чисел, но посторонние корни не появляются. 2 – это единственный корень как первого, так и второго уравнения. Также не происходит появления посторонних корней при переходе от уравнения к уравнению-следствию . Единственным корнем и первого, и второго уравнения является x=16 . Именно поэтому мы говорим не о причинах появления посторонних корней, а о причинах возможного появления посторонних корней.

Что такое отсеивание посторонних корней?

Термин «отсеивание посторонних корней» лишь с натяжкой можно назвать устоявшимся, он встречается далеко не во всех учебниках алгебры, но является интуитивно понятным, из-за чего обычно и используется. Что понимают под отсеиванием посторонних корней, становится понятно из следующей фразы: «… проверка – обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»)» .

Таким образом,

Определение

Отсеивание посторонних корней – это обнаружение и отбрасывание посторонних корней.

Теперь можно переходить к способам отсеивания посторонних корней.

Способы отсеивания посторонних корней

Проверка подстановкой

Основной способ отсеивания посторонних корней – это проверка подстановкой. Он позволяет отсеять посторонние корни, которые могли возникнуть и по причине расширения ОДЗ, и по причине возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

Проверка подстановкой состоит в следующем: найденные корни уравнения-следствия по очереди подставляются в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение, те из них, которые дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения, а те, которые дают неверное числовое равенство или выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Покажем на примере, как проводится отсеивание посторонних корней через подстановку в исходное уравнение.

В некоторых случаях отсеивание посторонних корней целесообразнее проводить другими способами. Это относится в основном к тем случаям, когда проверка подстановкой связана со значительными вычислительными трудностями или когда стандартный способ решения уравнений какого-то определенного вида предполагает другой проверки (например, отсеивание посторонних корней при решении дробно-рациональных уравнений проводится по условию не равенства нулю знаменателя дроби). Разберем альтернативные способы отсеивания посторонних корней.

По ОДЗ

В отличие от проверки подстановкой, отсеивание посторонних корней по ОДЗ уместно не всегда. Дело в том, что этот способ позволяет отсеивать лишь посторонние корни, возникающие по причине расширения ОДЗ, и он не гарантирует отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть по другим причинам, например, из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Более того, не всегда просто отыскать ОДЗ для решаемого уравнения. Тем не менее, способ отсеивания посторонних корней по ОДЗ стоит держать на вооружении, так как часто его использование требует меньших вычислительных работ, чем использование других способов.

Отсеивание посторонних корней по ОДЗ проводится следующим образом: все найденные корни уравнения-следствия проверяются на предмет принадлежности области допустимых значений переменной для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения, те из них, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те из них, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Анализ приведенной информации приводит к выводу, что отсеивание посторонних корней по ОДЗ целесообразно проводить, если единовременно:

• легко находится ОДЗ для исходного уравнения,
• посторонние корни могли возникнуть только по причине расширения ОДЗ,
• проверка подстановкой связана со значительными вычислительными сложностями.

Покажем, как проводится отсеивание посторонних корней, на практике.

По условиям ОДЗ

Как мы сказали в предыдущем пункте, если посторонние корни могли возникнуть лишь по причине расширения ОДЗ, то их можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Но не всегда просто найти ОДЗ в виде числового множества. В таких случаях можно проводить отсеивание посторонних корней не по ОДЗ, а по условиям, определяющим ОДЗ. Разъясним, как проводится отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ.

Найденные корни по очереди подставляются в условия, определяющие ОДЗ для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения. Те из них, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями уравнения. А те из них, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию или дают не имеющее смысла выражение, являются посторонними корнями для исходного уравнения.

Приведем пример отсеивания посторонних корней по условиям ОДЗ.

Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень

Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.

Отсеивание посторонних корней, которые могут возникнуть при возведении в одну и ту же четную степень обеих частей иррациональных уравнений вида , где n – некоторое четное число, можно проводить по условию g(x)≥0 . Это вытекает из определения корня четной степени: корень четной степени n есть неотрицательное число, n -ая степень которого равна подкоренному числу, откуда . Таким образом, озвученный подход представляет собой своего рода симбиоз метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метода решения иррациональных уравнений по определению корня. То есть, уравнение , где n –четное число, решается методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а отсеивание посторонних корней выполняется по условию g(x)≥0 , взятому из метода решения иррациональных уравнений по определению корня.

§ 1. ПОТЕРЯННЫЕ И ПОСТОРОННИЕ КОРНИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРАХ)

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. В двух теоремах § 3 главы VII говорилось о том, какие действия над уравнениями не нарушают их равносильности.

2. Рассмотрим теперь такие операции над уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению. Вместо общих рассуждений ограничимся рассмотрением лишь конкретных примеров.

3. Пример 1. Дано уравнение Раскроем скобки в данном уравнении, перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение. Его корнями являются

Если сократить обе части уравнения на общий множитель то получится уравнение которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень

Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения.

4. Пример 2. Дано уравнение Данное уравнение имеет единственный корень Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим Решая это уравнение, найдем два корня:

Усматриваем, что новое уравнение неравносильно исходному уравнению Корень является корнем уравнения которое после возведения в квадрат обеих частей приводит к уравнению

5. Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.

Пример 3. Если обе части уравнения умножим на то получим новое уравнение которое после переноса члена из правой части в левую и разложения на множители дает уравнение откуда либо

Корень не удовлетворяет уравнению которое имеет единственный корень

Отсюда делаем вывод: при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.

Все соображения, высказанные здесь по вопросу о потере и появлении посторонних корней уравнения, в одинаковой мере относятся к любым уравнениям (алгебраическим, тригонометрическим и др.).

6. Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем (причем число таких операций конечное).

Так, например, уравнения

являются алгебраическими, а уравнения

ЗУБЫ. Зубы позвоночных по своему строению и развитию совершенно сходны с плакоид ными чешуями, покрывающими всю кожу акуловых рыб. Поскольку вся ротовая полость, а частью и полость глотки, выстлана эктодермальным эпителием, типичная пла коидная… …

ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ - ТУБЕРКУЛЕЗ ЛЕГКИХ. Содержание: I. Патологическая анатомия...........110 II. Классификация легочного туберкулеза.... 124 III. Клиника.....................128 IV. Диагностика..................160 V. Прогноз..................... 190 VІ. Лечение … Большая медицинская энциклопедия

ОТРАВЛЕНИЕ - ОТРАВЛЕНИЕ. Под отравлением разумеют «расстройства функций животн. организма, вызываемые экзогенными или эндогенными, химически или физико химически действующими веществами, к рые в отношении качества, количества или концентрации чужды… … Большая медицинская энциклопедия

Клубеньковые бактерии бобовых - Данные палеонтологии свидетельствуют о том, что самыми древними бобовыми культурами, имевшими клубеньки, были некоторые растения, принадлежащие к группе Eucaesalpinioideae. У современных видов бобовых растений клубеньки обнаружены … Биологическая энциклопедия

Список серий мультсериала «Лунтик» - В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

РАСТЕНИЕ И СРЕДА - Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия

Список серий сериала «Лунтик» - Основная статья: Приключения Лунтика и его друзей Содержание 1 Количество серий 2 Список серий мультсериала Лунтик и его друзья … Википедия

Болезни плодовых деревьев - Плодовые деревья благодаря постоянным заботам о них человека должны достигать гораздо старшего возраста, чем некультурные родичи их, если бы не противодействующие влияния многих условий самой культуры, а именно требования, предъявляемые нами… …

Валка леса - В. леса, или извлечение лесного дохода в виде древесины и коры, может быть выполнена двояким образом: выкапыванием или выкорчевыванием целых деревьев, т. е. стволов вместе с корнями, или же отдельно, по частям сперва валятся, или снимаются с… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Грош - (польск. grosz, от нем. Groschen, от лат. grossus (dēnārius) «толстый денарий») монета различных стран и времён. Содержание 1 Появление гроша … Википедия

Монеты США - 20 долларов Сент Годенса самая красивая и дорогая монета США Монеты США монеты, чеканящиеся на Монетном дворе США. Выпускаются с 1792 года … Википедия

Книги

• Основные причины выпадения волос у женщин , Алексей Мичман , Проблемой выпадения волос в какой-то момент жизни страдает шесть из десяти женщин. Потеря волос может происходить по ряду причин, таких как наследственность, гормональные изменения в… Категория: